Fantito escribió:Y la ultima, de la que hablamos largo rato en las jornada viendo evolucionar a la Arganda:
Un tren circula a 350 Km/h: ¿que parte del tren se mueve siempre en sentido contrario al tren (respecto un observador en
tierra)?
Los puntos correspondientes al radio de la rueda del tren perpendicular a la vía. Exactamente, de los dos radios posibles, se debe escoger el que tiene un punto en común con el raíl.
Es más, el recorrido de un punto del perímetro de una rueda que va rodando se conoce como trocoide (ésta en particular sería una cicloide, trocoide es el nombre genérico, por ejemplo el de un punto de la pestaña de la rueda, de radio mayor) y se puede parametrizar por la función <b>f(t)=r*(t-cos(t),1+sin(t))</b> como función de la recta real al plano real, con la variable constante <b>r</b> el radio de la rueda. Entonces, la derivada es <b>f'(t)=r*(1+sin(t),cos(t))</b>. Para que el punto de la rueda que parametrizamos esté sobre el raíl, necesitamos que la coordenada <b>y</b> de la parametrización sea igual a cero: <b>1+sin(t)=0
sin(t)=-1
t=(-90+360*n)º</b>, <b>n</b> entero.(se me hace extraño escribir ángulos en grados sexagesimales y no en radianes
). Entonces, el vector velocidad en este punto es <b>f'(-90)=r*(1+sin(-90),cos(-90))=r*(0,0)</b> lo que no me cuadra
pues esperaba una derivada del tipo <b>r*(-1,0)</b>.
Estoy suspendido de Geometría Diferencial, pero por lo menos habré acertado esta pregunta, ¿verdad?
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Editado poco después de enviar...
He dado la solución sin darme cuenta... ¡Seré borrico! En el caso de la rueda, no va para atrás en ningún momento, de hecho el punto del perímetro de la rueda en el instante que toca el carril se para, por eso la derivada (velocidad) me daba exactamente cero. Lo que <b>sí</b> es cierto que los puntos de la pestaña sí van para atrás, al ser su radio de rotación mayor que el del perímetro de la rueda que hace contacto con el raíl. Claro, yo simplifiqué para ahorrarme un parámetro y mandé a la porra el problema. Bueno, pues os quedáis sin ecuaciones, que escribirlas así a sopetón es un rollo. Sólo os pongo la parametrización correcta de los puntos de la pestaña de la rueda:
<b>f(t)=(r*t,r)+(-p*cos(t),p*sin(t)=(r*t-p*cos(t),r+p*sin(t))</b>
con los parámetros <b>r</b>: radio de la rueda y <b>p</b>: radio de la pestaña (radio de la rueda + altura de la pestaña). Derivad vosotros y comprovad que sale para atrás.